Сокращение дробей, определение и формула.

Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?

Определение:Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице. В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно основному свойству рациональных чисел.

Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.

(frac{p times n}{q times n}=frac{p}?)

Рассмотрим пример:Сократите дробь (frac{9}{15})

Решение:Мы можем разложить дробь на простые множители и сократить общие множители.

(frac{9}{15}=frac{3 times 3}{5 times 3}=frac{3}{5} times color{red} {frac{3}{3}}=frac{3}{5} times 1=frac{3}{5})

Ответ: после сокращения получили дробь (frac{3}{5}). По основному свойству рациональных чисел первоначальная и получившееся дробь равны.

(frac{9}{15}=frac{3}{5})

Как сокращать дроби? Сокращение дроби до несократимого вида.

Чтобы нам получить в результате несократимую дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя дроби.

Есть несколько способов найти НОД мы воспользуемся в примере разложением чисел на простые множители.

Получите несократимую дробь (frac{48}{136}).

Решение:Найдем НОД(48, 136). Распишем числа 48 и 136 на простые множители.48=2⋅2⋅2⋅2⋅3136=2⋅2⋅2⋅17НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

(frac{48}{136}=frac{color{red} {2 times 2 times 2} times 2 times 3}{color{red} {2 times 2 times 2} times 17}=frac{color{red} {6} times 2 times 3}{color{red} {6} times 17}=frac{2 times 3}{17}=frac{6}{17})

Ответ: (frac{6}{17}) несократимая дробь.

  1. Нужно найти наибольший общий делитель для числители и знаменателя.
  2. Нужно поделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель в результате деления получить несократимую дробь.

Пример:Сократите дробь (frac{152}{168}).

Решение:Найдем НОД(152, 168). Распишем числа 152 и 168 на простые множители.152=2⋅2⋅2⋅19168=2⋅2⋅2⋅3⋅7НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

(frac{152}{168}=frac{color{red} {6} times 19}{color{red} {6} times 21}=frac{19}{21})

Предлагаем ознакомиться  Пример расчета выходного пособия при ликвидации предприятия в 2020 году: самая актуальная формула

Ответ:  (frac{19}{21}) несократимая дробь.

Сокращение неправильной дроби.

Как сократить неправильную дробь?Правила сокращения дробей для правильных и неправильных дробей одинаковы.

Рассмотрим пример:Сократите неправильную дробь (frac{44}{32}).

Решение:Распишем на простые множители числитель и знаменатель. А потом общие множители сократим.

(frac{44}{32}=frac{color{red} {2 times 2 } times 11}{color{red} {2 times 2 } times 2 times 2 times 2}=frac{11}{2 times 2 times 2}=frac{11}{8})

Сокращение смешанных дробей.

Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.

Рассмотрим пример:Сократите смешанную дробь (2frac{30}{45}).

Решение:Решим двумя способами:Первый способ:Распишем дробную часть на простые множители, а целую часть не будем трогать.

(2frac{30}{45}=2frac{2 times color{red} {5 times 3}}{3 times color{red} {5 times 3}}=2frac{2}{3})

Второй способ:Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.

(2frac{30}{45}=frac{45 times 2 30}{45}=frac{120}{45}=frac{2 times color{red} {5 times 3} times 2 times 2}{3 times color{red} {3 times 5}}=frac{2 times 2 times 2}{3}=frac{8}{3}=2frac{2}{3})

Вычислите выражение  (frac{50 20-10}{20}) .

Решение:Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.

(frac{50 color{red} {20}-10}{color{red} {20}}=frac{60}{20}=frac{3 times 20}{20}=frac{3}{1}=3)

На какие числа можно сокращать дробь?Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя. Например, дробь (frac{100}{150}).

Распишем на простые множители числа 100 и 150.100=2⋅2⋅5⋅5150=2⋅5⋅5⋅3Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

(frac{100}{150}=frac{2 times 50}{3 times 50}=frac{2}{3})

Получили несократимую дробь (frac{2}{3}).

Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь (frac{100}{150}) на 2.

Предлагаем ознакомиться  Правила дорожного движения российской федерации ремни безопасности

(frac{100}{150}=frac{2 times 50}{2 times 75}=frac{50}{75})

Получили сократимую дробь (frac{50}{75}).

Какие дроби можно сокращать?Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь (frac{4}{8}). У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.

Пример:Сравните две дроби (frac{2}{3}) и (frac{8}{12}).

(frac{8}{12}=frac{2 times 4}{3 times 4}=frac{2}{3} times frac{4}{4}=frac{2}{3} times 1=frac{2}{3})

Отсюда получаем, (frac{8}{12}=frac{2}{3})

Две дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них получена путем сокращения другой дроби на общий множитель числителя и знаменателя.

Пример:Сократите если возможно следующие дроби: а) (frac{90}{65}) б) (frac{27}{63}) в) (frac{17}{100}) г) (frac{100}{250})

Решение:а) (frac{90}{65}=frac{2 times color{red} {5} times 3 times 3}{color{red} {5} times 13}=frac{2 times 3 times 3}{13}=frac{18}{13})б) (frac{27}{63}=frac{color{red} {3 times 3} times 3}{color{red} {3 times 3} times 7}=frac{3}{7})в) (frac{17}{100}) несократимая дробьг) (frac{100}{250}=frac{color{red} {2 times 5 times 5} times 2}{color{red} {2 times 5 times 5} times 5}=frac{2}{5})